Er det en spesifikk forskjell mellom en dobbelt integral og en iterert integral?


Svar 1:

Surface Integral vs Iterated integral:

En overflateintegral er en integral der funksjonen er integrert eller evaluert langs en overflate som ligger på høyere dimensjonalt rom. En (todimensjonal) overflateintegraal blir tatt på en form innebygd i et høyere dimensjonalt rom.

Men i Iterated integral kan det bare integrere en funksjon som er avgrenset av 2D-region med hensyn til infinitesimal område

Det vil si at vi kan ta overflaten integrert av en sfære, for eksempel, i tre dimensjoner. Vi kan kartlegge sfæreoverflaten til et plan, og deretter ta integralen.

Et annet eksempel vil være en kube i 3D. Klart er overflaten på kuben 2D i naturen, men selve kuben er innebygd i 3D-rom. Vi kan ta integralen over denne overflaten.

Du kan tenke på overflateintegraler på denne måten: hvis vi på en eller annen måte kan utfolde, strekke, rotere, skjære og bøye overflaten til en eller annen form for å gjøre den flat, så kan vi ta overflaten integrert over formens grense. Men selve formen er ikke nødvendigvis flat og absolutt ikke todimensjonal.

Et Iterated integral kan bare tas på et todimensjonalt rom. Det vil si at vi bare kan ta det over et område med 2D-plass. Som en firkant, eller en sirkel, eller en hvilken som helst annen form med innsiden.

Så kan et overflateintegral føre til et iterert integral hvis vi kan kartlegge (strekke, rotere osv.) Overflaten til et todimensjonalt rom, og omvendt, hvis vi kan kartlegge det to dimensjonale rommet til en høyere dimensjonal overflate, vi kan ta overflaten integrert! Det er en fin symmetri mellom de to for fine overflater og former (selv om overflateintegralet er mer generelt hvis vi vurderer unntakstilfeller).

Overflateintegral blir til endret integral når overflaten projiseres på vilkårlig planregion.


Svar 2:

I patologiske tilfeller er integrasjonsrekkefølgen viktig. For eksempel

0101x2y2(x2+y2)2dydx=π4\int_0^1{\int_0^1{\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy}dx} = \frac{\pi}{4}

, men integralendringene signerer hvis ordren er omgjort. (Gitt at integralet eksisterer og ikke er null), er det ganske åpenbart at tegnet vil endre seg - utveksling

xx

og

yy

.)

Men denne typen ting skjer ikke hvis det doble integralet eksisterer. Så det doble integralet må være subtilt annerledes. Doble integraler er definert på lignende måte som enkeltintegraler - del opp domenet og la brikkene ha en tendens til å være i størrelse. En gjentatt integral er lik, men domenet er delt inn i et rutenett med rektangler, og bredder og høyder har en tendens til å bli null hver for seg, og rekkefølgen betyr noe.

Hvis du vet om Lebesgue-integrasjon, slå opp Fubini-Tonelli-setningene.